ریاضیات

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاددر ریاضیات، معادله هلمهولتز مسئله مقدار ویژه برای عملگر لاپلاس است . با معادله دیفرانسیل جزئی خطی مطابقت داردکه در آن ∇ 2 عملگر لاپلاس، k 2 مقدار ویژه، و f تابع (ویژه) است. هنگامی که معادله برای امواج اعمال می شود، k به عنوان عدد موج شناخته می شود . معادله هلمهولتز کاربردهای مختلفی در فیزیک و علوم دیگر دارد، از جمله معادله موج ، معادله انتشار و معادله شرودینگر برای یک ذره آزاد.این معادله به نام هرمان فون هلمهولتز ، که آن را در سال 1860 مطالعه کرد، نامگذاری شده است.انگیزه و موارد استفاده [ ویرایش ]معادله هلمهولتز اغلب در مطالعه مسائل فیزیکی مربوط به معادلات دیفرانسیل جزئی (PDEs) در فضا و زمان به وجود می آید. معادله هلمهولتز، که شکل مستقل از زمان معادله موج را نشان می‌دهد ، از بکارگیری تکنیک جداسازی متغیرها برای کاهش پیچیدگی تحلیل حاصل می‌شود.به عنوان مثال، معادله موج را در نظر بگیریدجداسازی متغیرها با این فرض شروع می شود که تابع موج u ( r , t ) در واقع قابل تفکیک است:با جایگزینی این شکل به معادله موج و سپس ساده سازی، معادله زیر را به دست می آوریم:توجه داشته باشید که عبارت سمت چپ فقط به r بستگی دارد ، در حالی که عبارت سمت راست فقط به t بستگی دارد . در نتیجه، این معادله در حالت کلی معتبر است اگر و تنها در صورتی که هر دو طرف معادله با یک مقدار ثابت برابر باشند. این استدلال در تکنیک حل معادلات دیفرانسیل جزئی خطی با جداسازی متغیرها کلیدی است. از این مشاهدات، دو معادله به دست می‌آید، یکی برای A ( r ) و دیگری برای T ( t ):که در آن، بدون از دست دادن کلیت، عبارت - k 2 را برای مقدار ثابت انتخاب کرده ایم. (استفاده از هر ثابت k به عنوان ثابت جداسازی به همان انداز ریاضیات...

​از ویکیپدیا، دانشنامه آزاددر ریاضیات ، جداسازی متغیرها (همچنین به عنوان روش فوریه شناخته می شود ) یکی از چندین روش برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی است که در آن جبر به فرد اجازه می دهد تا یک معادله را بازنویسی کند به طوری که هر یک از دو متغیر در سمت دیگری از معادله رخ دهد. .معادله دیفرانسیل مرتبه اول تناسبی [1] را با جداسازی متغیرها حل کنید. [2]معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی [3] را با جداسازی متغیرها حل کنید. [2]معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) [ ویرایش ]معادله دیفرانسیل برای مجهولاگر بتوان آن را به شکل نوشتار جدا کردجایی کهوتوابع داده می شود. این شاید وقتی با استفاده از نوشته می شود شفاف تر باشدمانند:بنابراین تا زمانی که h ( y ) ≠ 0 باشد، می‌توانیم عبارات را مجدداً مرتب کنیم تا به دست آوریم:،که در آن دو متغیر x و y از هم جدا شده اند. یادداشت dx (و dy ) را می توان در یک سطح ساده، فقط به عنوان یک نماد راحت مشاهده کرد، که یک کمک یادگاری مفید برای کمک به دستکاری ها ارائه می دهد. تعریف رسمی dx به عنوان دیفرانسیل (بی نهایت کوچک) تا حدودی پیشرفته است.نماد جایگزین [ ویرایش ]کسانی که از نماد لایب نیتس خوششان نمی آید ممکن است ترجیح دهند این را به این صورت بنویسنداما این امر نمی تواند کاملاً واضح باشد که چرا به آن "جداسازی متغیرها" می گویند. انتگرال هر دو طرف معادله با توجه به ، ما داریم( A1 )یا معادل آن،به دلیل قانون جایگزینی برای انتگرال ها .اگر بتوان دو انتگرال را ارزیابی کرد، می‌توان راه‌حلی برای معادله دیفرانسیل پیدا کرد. توجه داشته باشید که این فرآیند به طور مؤثر به ما امکان می دهد مشتق را درمان کنیم ددبه عنوان کسری که قابل جدا شدن است. این به ما امکان می دهد معادلات دیفران ریاضیات...

از ویکیپدیا، دانشنامه آزادمسیر پرتابه ای که از یک توپ پرتاب می شود از منحنی تعیین شده توسط یک معادله دیفرانسیل معمولی که از قانون دوم نیوتن مشتق شده است، پیروی می کند.معادلات دیفرانسیلمحدودهنشان می دهدزمینه هایطبقه بندینشان می دهدانواعنشان می دهدارتباط با فرآیندهاراه حلنشان می دهدوجود و منحصر به فرد بودننشان می دهدمباحث عمومینشان می دهدروش های حلمردمنشان می دهدفهرست کنیددر ریاضیات ، یک معادله دیفرانسیل معمولی ( ODE ) یک معادله دیفرانسیل (DE) است که تنها به یک متغیر مستقل وابسته است . مانند سایر DE، مجهول(های) آن از یک (یا چند تابع) تشکیل شده و مشتقات آن توابع را شامل می شود. [1] اصطلاح "معمولی" در مقابل معادلات دیفرانسیل جزئی استفاده می شود که ممکن است با توجه به بیش از یک متغیر مستقل باشد. [2]معادلات دیفرانسیل [ ویرایش ]معادله دیفرانسیل خطی یک معادله دیفرانسیل است که توسط یک چند جمله ای خطی در تابع مجهول و مشتقات آن تعریف می شود که معادله ای از شکل است.،جایی که وتوابع قابل تمایز دلخواه هستند که نیازی به خطی بودن ندارند و مشتقات متوالی تابع مجهول y از متغیر x هستند .در بین معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل خطی به چند دلیل نقش برجسته ای دارند. اکثر توابع ابتدایی و ویژه ای که در فیزیک و ریاضیات کاربردی با آنها مواجه می شوند ، حل معادلات دیفرانسیل خطی هستند (به تابع هولونومی مراجعه کنید ). هنگامی که پدیده های فیزیکی با معادلات غیر خطی مدل می شوند، معمولاً با معادلات دیفرانسیل خطی برای حل آسان تر تقریب می شوند. معدود ODE های غیر خطی که می توانند به طور صریح حل شوند، عموماً با تبدیل معادله به یک ODE خطی معادل حل می شوند (به عنوان مثال معادله Riccati را ببینید ).برخی از O ریاضیات...

اشکال کلی برای یک ذره [ ویرایش ]ذره آزاد [ ویرایش ]ذره با هیچ انرژی پتانسیل محدود نمی شود، بنابراین پتانسیل صفر است و این همیلتونی ساده ترین است. برای یک بعد:و در ابعاد بالاتر:چاه با پتانسیل ثابت [ ویرایش ]برای ذره ای در ناحیه ای با پتانسیل ثابت(بدون وابستگی به مکان یا زمان)، در یک بعد، همیلتونی عبارت است از:در سه بعدیاین برای مسئله ابتدایی " ذره در یک جعبه " و پتانسیل های مرحله ای صدق می کند .نوسان ساز هارمونیک ساده [ ویرایش ]برای یک نوسان ساز هارمونیک ساده در یک بعد، پتانسیل با موقعیت (اما نه زمان)، با توجه به:جایی که فرکانس زاویه ای ، ثابت فنر موثر ، و جرم نوسانگر برآورده می کند:بنابراین همیلتونی:برای سه بعد، این می شودکه در آن بردار موقعیت سه بعدیاستفاده از مختصات دکارتی است، قدر آن استنوشتن همیلتونی به طور کامل نشان می دهد که به سادگی مجموع همیلتونین های یک بعدی در هر جهت است:روتور صلب [ ویرایش ]برای یک روتور صلب - یعنی سیستمی از ذرات که می توانند آزادانه حول هر محوری بچرخند، بدون هیچ پتانسیلی (مانند مولکول های آزاد با درجه آزادی ارتعاشی ناچیز ، مثلاً به دلیل پیوندهای شیمیایی دو یا سه گانه )، هامیلتونین است:جایی که،، وممان مولفه های اینرسی هستند (از نظر فنی عناصر مورب تانسور ممان اینرسی ) و، ، ومجموع عملگرهای تکانه زاویه ای (مولفه) هستند، در مورد،، وبه ترتیب محورها. ریاضیات...

پتانسیل الکترواستاتیک (کولن) [ ویرایش ]انرژی پتانسیل کولن برای بارهای دو نقطه ایو(یعنی آنهایی که به طور مستقل وسعت فضایی ندارند)، در سه بعد (در واحدهای SI - به جای واحدهای گاوسی که اغلب در الکترومغناطیس استفاده می شوند ) است:با این حال، این فقط پتانسیل یک شارژ نقطه به دلیل دیگری است. اگر ذرات باردار زیادی وجود داشته باشد، هر بار به دلیل هر بار نقطه ای دیگر (به جز خودش) انرژی بالقوه ای دارد. براینبارها، انرژی پتانسیل باربه دلیل همه بارهای دیگر (همچنین نگاه کنید به انرژی پتانسیل الکترواستاتیک ذخیره شده در پیکربندی بارهای نقطه گسسته ): [3]جایی کهپتانسیل الکترواستاتیک بار استدر. پس مجموع پتانسیل کل سیستم تمام می شود:بنابراین همیلتونی:دوقطبی الکتریکی در میدان الکتریکی [ ویرایش ]برای یک لحظه دوقطبی الکتریکی اتهامات قدر را تشکیل می دهند، در یک میدان الکترواستاتیک یکنواخت (مستقل از زمان)، با قرار گرفتن در یک مکان، پتانسیل این است:ممان دوقطبی خود عملگر استاز آنجایی که ذره ساکن است، انرژی جنبشی انتقالی دوقطبی وجود ندارد، بنابراین همیلتونین دوقطبی فقط انرژی پتانسیل است:دوقطبی مغناطیسی در میدان مغناطیسی [ ویرایش ]برای یک لحظه دوقطبی مغناطیسیدر یک میدان مغناطیسی یکنواخت (مستقل از زمان)، با قرار گرفتن در یک مکان، پتانسیل این است:از آنجایی که ذره ساکن است، انرژی جنبشی انتقالی دوقطبی وجود ندارد، بنابراین همیلتونین دوقطبی فقط انرژی پتانسیل است:برای یک ذره اسپین 1 ⁄ 2 ، گشتاور مغناطیسی اسپین مربوطه به صورت زیر است: [4]جایی کهس" ضریب اسپین g " است (با نسبت ژیرو مغناطیسی اشتباه نشود )هبار الکترون است،اسبردار عملگر اسپین است که اجزای آن ماتریس های پائولی هستند ، بنابراینذرات باردار در میدان الکتر ریاضیات...

انحطاط، تقارن، و قوانین بقای ویژه انرژی [ ویرایش ]در بسیاری از سیستم ها، دو یا چند حالت ویژه انرژی دارای انرژی یکسان هستند. یک مثال ساده از این یک ذره آزاد است که حالت های ویژه انرژی آن دارای تابع موج هایی هستند که در حال انتشار امواج صفحه هستند. انرژی هر یک از این امواج مسطح با مجذور طول موج آن نسبت معکوس دارد . موجی که درجهت حالتی متفاوت از حالتی است که در آن منتشر می شودجهت، اما اگر طول موج یکسانی داشته باشند، انرژی آنها یکسان خواهد بود. وقتی این اتفاق می افتد، گفته می شود که ایالت ها منحط شده اند .به نظر می رسد که انحطاط زمانی رخ می دهد که یک اپراتور واحد غیر پیش پا افتاده باشد با همیلتونی رفت و آمد می کند . برای دیدن این، آن را فرض کنیدیک مجموعه ویژه انرژی است. سپسیک مجموعه ویژه انرژی با مقدار ویژه یکسان است، زیرااز آنجا کهبی اهمیت است، حداقل یک جفتوباید نشان دهنده حالت های متمایز باشد. از این رو،حداقل یک جفت ویژه انرژی منحط دارد. در مورد ذره آزاد، عملگر واحدی که تقارن را ایجاد می کند، عملگر چرخشی است که توابع موج را با زاویه ای می چرخاند و در غیر این صورت شکل آنها را حفظ می کند.وجود عملگر تقارن دلالت بر وجود یک مشاهده پذیر حفظ شده دارد . اجازه دهیدمولد هرمیت باشد:ساده است که نشان دهیم اگررفت و آمد با، پس همینطور است:از این رو،برای به دست آوردن این نتیجه، از معادله شرودینگر و همچنین دوگانه آن استفاده کرده ایم .بنابراین، مقدار مورد انتظار قابل مشاهده استجیبرای هر حالتی از سیستم حفظ می شود. در مورد ذره آزاد، کمیت حفظ شده تکانه زاویه ای است .معادلات همیلتون [ ویرایش ]معادلات همیلتون در مکانیک کلاسیک همیلتونی مشابهی مستقیم در مکانیک کوانتومی دارند. فرض کنید مجموعه ای از حا ریاضیات...

​ویژگی های جبری [ ویرایش ]قضیه جمع [ ویرایش ]یک نتیجه ریاضی با علاقه و استفاده قابل توجه، قضیه جمع برای هارمونیک های کروی نامیده می شود. دو بردار r و r' با مختصات کروی داده می شودو، به ترتیب، زاویهبین آنها توسط رابطه داده می شودکه در آن نقش توابع مثلثاتی که در سمت راست ظاهر می شوند توسط هارمونیک های کروی و نقش سمت چپ توسط چند جمله ای های لژاندر ایفا می شود .قضیه جمع بیان می کند [17]( 1 )که در آن P چند جمله ای لژاندر درجه است . این عبارت برای هر دو هارمونیک حقیقی و مختلط معتبر است. [18] نتیجه را می توان به صورت تحلیلی، با استفاده از خواص هسته پواسون در توپ واحد، یا به صورت هندسی با اعمال چرخش بر روی بردار y به طوری که در امتداد محور z قرار گیرد ، و سپس محاسبه مستقیم سمت راست اثبات کرد. سمت. [19]به ویژه، زمانی که x = y ، قضیه آنسلد را به دست می‌دهد [20]که اتحاد cos 2 θ + sin 2 θ = 1 را به دو بعد تعمیم می دهد.در بسط ( 1 )، سمت چپ مضرب ثابت درجه هارمونیک کروی ناحیه ای است . از این منظر، تعمیم زیر به ابعاد بالاتر وجود دارد. فرض کنید Y j یک مبنای متعامد دلخواه فضای H از هارمونیک های کروی درجه روی کره n باشد . سپس ، درجه هارمونیک ناحیه ای مربوط به بردار واحد x ، به صورت [21] تجزیه می شود.( 2 )علاوه بر این، هارمونیک ناحیه ایبه عنوان مضرب ثابت چند جمله ای جیگنبوئر مناسب داده می شود :( 3 )با ترکیب ( 2 ) و ( 3 ) زمانی که x و y در مختصات کروی نمایش داده می شوند، ( 1 ) در بعد n = 2 به دست می آید. در نهایت، ارزیابی در x = y اتحاد عملکردی را می دهدکه در آن ω n -1 حجم ( n -1) -کره است.قانون انقباض [ ویرایش ]اتحاد مفید دیگر حاصل ضرب دو هارمونیک کروی را به صورت مجموع بر هارمونیک های کروی بیان ریاضیات...

از ویکیپدیا، دانشنامه آزادنباید با Teorema , Theorema یا Theory اشتباه گرفت .قضیه فیثاغورث حداقل 370 اثبات شناخته شده دارد. [1]در ریاضیات ، قضیه عبارتی است که ثابت شده یا قابل اثبات است. [a] [2] [ 3] اثبات یک قضیه یک استدلال منطقی است که از قواعد استنتاج یک سیستم قیاسی استفاده می کند تا ثابت کند که قضیه نتیجه منطقی بدیهیات و قضایای قبلاً اثبات شده است.در ریاضیات رایج، بدیهیات و قواعد استنتاج معمولاً به صورت ضمنی رها می‌شوند، و در این مورد، آنها تقریباً همیشه همان نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل با اصل انتخاب (ZFC) یا یک نظریه کم‌قدرت‌تر هستند، مانند حساب پیانو . [ب] به طور کلی، ادعایی که صریحاً قضیه نامیده می‌شود، نتیجه اثبات شده‌ای است که پیامد فوری سایر قضایای شناخته شده نیست. علاوه بر این، بسیاری از نویسندگان تنها مهم ترین نتایج را به عنوان قضایا واجد شرایط می دانند و از اصطلاحات لم ، گزاره و نتیجه برای قضایای کم اهمیت استفاده می کنند.در منطق ریاضی ، مفاهیم قضایا و برهان ها به منظور امکان استدلال ریاضی درباره آنها رسمیت یافته است. در این زمینه، گزاره‌ها به فرمول‌های خوش‌تشکیل برخی از زبان‌های رسمی تبدیل می‌شوند . یک نظریه شامل برخی از گزاره های پایه به نام بدیهیات ، و برخی از قواعد استنتاج (که گاهی در بدیهیات گنجانده می شود) است. قضایای نظریه گزاره هایی هستند که با استفاده از قواعد استنباط می توان از بدیهیات استخراج کرد. [ج] این رسمی‌سازی منجر به نظریه اثبات شد ، که امکان اثبات قضایای کلی در مورد قضایا و برهان‌ها را فراهم می‌کند. به‌ویژه، قضایای ناتمامی گودل نشان می‌دهد که هر نظریه ثابتی که شامل اعداد طبیعی است، گزاره‌های درستی درباره اعداد طبیعی دارد که قضایای نظریه نیستند ریاضیات...

​از ویکیپدیا، دانشنامه آزادنباید با ولتاژ اشتباه گرفته شود .پتانسیل الکتریکیپتانسیل الکتریکی در اطراف دو کره رسانا با بار مخالف. بنفش نشان دهنده بالاترین پتانسیل، زرد صفر و فیروزه ای کمترین پتانسیل است. خطوط میدان الکتریکی به صورت عمود بر سطح هر کره خارج می شوند.نمادهای رایجV ، φواحد SIولتواحدهای دیگرstatvoltدر واحدهای پایه SIV = kg⋅m 2 ⋅s −3 ⋅A −1گسترده ؟آرهبعد، ابعاد، اندازهM L 2 T -3 I -1مقالاتی در موردالکترومغناطیسبرقمغناطیساپتیکتاریخکتاب های درسیپنهان شدنالکترواستاتیکشارژ الکتریکیقانون کولمبرهبر ارکسترچگالی شارژگذردهیلحظه دوقطبی الکتریکیمیدان الکتریکیپتانسیل الکتریکیشار الکتریکی / انرژی پتانسیلتخلیه الکترواستاتیکیقانون گاوسالقاءعایقچگالی پلاریزاسیونالکتریسیته ساکنتریبوالکتریکنشان می دهدمغناطیس استاتیکنشان می دهدالکترودینامیکنشان می دهدشبکه برقنشان می دهدمدار مغناطیسینشان می دهدفرمول کوواریانسنشان می دهددانشمندانپتانسیل الکتریکی (که پتانسیل میدان الکتریکی ، افت پتانسیل، پتانسیل الکترواستاتیکی نیز نامیده می شود ) به عنوان مقدار انرژی کاری مورد نیاز در هر واحد بار الکتریکی برای انتقال بار از یک نقطه مرجع به یک نقطه خاص در یک میدان الکتریکی تعریف می شود. به طور دقیق تر، پتانسیل الکتریکی انرژی در واحد بار برای یک بار آزمایشی است که آنقدر کوچک است که اختلال میدان مورد نظر ناچیز است. قرار است حرکت در سراسر میدان با شتاب ناچیز پیش برود تا از دریافت انرژی جنبشی یا تولید تشعشع توسط بار آزمایشی جلوگیری شود. طبق تعریف، پتانسیل الکتریکی در نقطه مرجع صفر واحد است. به طور معمول، نقطه مرجع زمین یا نقطه ای در بی نهایت است ، اگرچه از هر نقطه ای می توان استفاده کرد.در الکترواستاتیک کلاسیک ریاضیات...

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاداین مقاله شامل فهرستی از مراجع عمومی است ، اما فاقد استنادهای درون خطی متناظر کافی است . لطفا با معرفی نقل قول های دقیق تر به بهبود این مقاله کمک کنید. ( می 2009 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )در محاسبات برداری ، یک میدان برداری پایستار ، یک میدان برداری است که گرادیان یک تابع است . [1] یک میدان برداری پایستار این ویژگی را دارد که انتگرال خط آن مستقل از مسیر باشد. انتخاب مسیر بین دو نقطه مقدار انتگرال خط را تغییر نمی دهد. مستقل مسیر انتگرال خط برابر با پایستار بودن میدان برداری زیر انتگرال خط است. یک میدان برداری پایستار نیز غیر پیچشی است. در سه بعدی، به این معنی است که دارای کرل صفر است . یک میدان برداری پیچشی الزاماً پایستار است به شرطی که دامنه به سادگی متصل باشد .میدان های برداری پایستار به طور طبیعی در مکانیک ظاهر می شوند : آنها میدان های برداری هستند که نیروهای سیستم های فیزیکی را نشان می دهند که در آنها انرژی حفظ می شود . [2] برای یک سیستم پایستار، کار انجام شده در حرکت در امتداد یک مسیر در فضای پیکربندی تنها به نقاط انتهایی مسیر بستگی دارد، بنابراین می توان انرژی پتانسیل را مستقل از مسیر واقعی طی شده تعریف کرد.بیان غیررسمی [ ویرایش ]در یک فضای دو و سه بعدی، ابهام در گرفتن انتگرال بین دو نقطه وجود دارد، زیرا بین دو نقطه مسیرهای بی نهایت زیادی وجود دارد - به غیر از خط مستقیم تشکیل شده بین دو نقطه، می توان یک مسیر منحنی را انتخاب کرد. طول بیشتر همانطور که در شکل نشان داده شده است. بنابراین به طور کلی مقدار انتگرال به مسیر طی شده بستگی دارد. با این حال، در مورد خاص یک میدان برداری پایستار، مقدار انتگرال مستقل از مسیر طی شده است، ریاضیات...